№ 1
 
Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах .

Решение

Объём параллелепипеда, построенного на векторах  a, b, c численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

 V = | abc |

= | -7 | = 7


№ 2
 
Найти объём пирамиды, построенной на векторах .

Решение

Объём пирамиды, построенной на векторах  abc равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах  abc численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

 V = | abc |/6

= | -7 | /6= 7/6

 

 

 

№ 3

Даны вершины тетраэдра  A(1; 2; 0),  B(5; -6; 2),  C(1; 3; -1), D(4; 1; 3).

Найти объём тетраэдра ABCD.

Решение

Построим векторы AB, AC, AD. 

,  .

Объём тетраэдра, построенного на векторах  ABACAD равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах  ABACAD численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

 V = | AB · AC· AD |/6

 

= | 12 | /6 = 12/6 = 2