№ 1
 Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .

Решение

Объём параллелепипеда, построенного на векторах  a, b, c численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

 V = | abc |

V = | -7 | = 7

№ 2
 Найти объём пирамиды, построенной на векторах , , .

Решение

Объём пирамиды, построенной на векторах  a, b, c равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах  a, b, c численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

 V = | abc |/6

V = | -7 | /6= 7/6

№ 3

Даны вершины тетраэдра  A(1; 2; 0),  B(5; -6; 2),  C(1; 3; -1), D(4; 1; 3).

Найти объём тетраэдра ABCD.

Решение

Построим векторы AB, AC, AD. 

, ,  .

Объём тетраэдра, построенного на векторах  AB, AC, AD равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Объём параллелепипеда, построенного на векторах  AB, AC, AD численно равен модулю смешанного произведения этих векторов.

 V = | AB · AC· AD |/6

V = | 12 | /6 = 12/6 = 2